Exponentielles Wachstum

Alle Vorgänge, bei denen eine Größe pro Zeiteinheit um einen konstanten Faktor zu- oder abnimmt (wo also das Wachstum bzw. die Abnahme proportional zur vorhandenen Größe ist), können durch eine Exponentialfunktion beschrieben werden. Das bekannteste Beispiel ist wohl die Formel für die Zinseszinsen:

K_n = K_0*(1+p/100)^n

(n: Anzahl der Jahre, K0: Anfangskapital, Kn: Kapital nach n Jahren)

Wie man sieht, beträgt der Wachstumsfaktor hier 1 + p/100, bei einem Zinssatz von 5% also 1,05.

Die Exponentialfunktion kann dargestellt werden mit beliebiger Basis oder mit der Basis e (Euler'sche Zahl). In der zweiten Form ist sie einfacher zu logarithmieren, da ln(e) = 1. Ich werde im Folgenden beide Formen nebeneinander verwenden.

Eine Funktion, die exponentielles Wachstum beschreibt, ist immer nach dem gleichen Schema aufgebaut:

f(t) = a·q t

f(t): Wert nach der Zeit t
a: Anfangswert
q: Wachstumsfaktor
(bei Wachstum ist q > 1,
bei Abnahme ist q < 1)

f(t) = a·eλt

λ (sprich: Lambda): Wachstumskonstante

Bei Abnahme schreibt man

f(t) = a·e−λt

Wenn man die beiden Formen vergleicht, sieht man, dass q = eλ, d.h. λ = ln(q) (bei Abnahme: λ = −ln(q)).

Die Zeit, in der sich eine bestimmte Menge verdoppelt (halbiert), hängt nicht vom Ausgangswert ab! Man bezeichnet sie als Verdopplungszeit (Halbwertszeit).

Musterbeispiele:

  1. Eine Bakterienkultur wächst pro Stunde um 15%. Stelle N(t) (die Anzahl der Bakterien nach t Stunden) als Exponentialfunktion dar!

    2. Der Wachstumsfaktor ist 1,15 (115%)

    N(t) = N0·1,15 t

    λ = ln (1,15) = 0,1398 / h

    N(t) = N0·e0,1398 t

  2. Die Bevölkerung eines Landes ist in 10 Jahren von 5 Millionen auf 6,1 Millionen angewachsen. Gib die Wachstumsfunktion an!

    3. 6,1 = 5·q10
    q = 10√(6,1/5) = 1,02

    N(t) = 5·1,02 t (in Millionen)

    6,1 = 5·e10 λ
    λ = ln(6,1/5)/10 = 0,0199 / Jahr

    N(t) = 5·e0,0199 t

    Wieviel Prozent beträgt das jährliche Wachstum?

    q = 1,02 = 102%
    ⇒ Die Bevölkerung wächst pro Jahr um 2%.

    q = e0,0199 = 1,02

    Wann wird das Land 8 Millionen Einwohner haben?

    8 = 5·1,02 t
    t = ln(8/5) / ln(1,02) = 23,7
    ⇒ nach 23,7 Jahren

    8 = 5·e0,0199 t
    t = ln(8/5) / 0,0199 = 23,7

Bei radioaktiven Zerfallsprozessen u. dgl. gibt man meist die Halbwertszeit τ an - die Zeit, nach der nur mehr die Hälfte der ursprünglichen Menge übrig ist.

  1. Die Halbwertszeit von radioaktivem Jod beträgt 8 Tage. Gib die Zerfallsfunktion an!
    (N0: Anfangsmenge, N(t): Menge nach t Tagen)

    2. N0/2 = N0·q8
    q = 8√(1/2) = 0,917

    N(t) = N0·0,917 t

    N0/2 = N0·e−8 λ
    λ = ln(1/2) / (−8) = 0,0866 / Tag

    N(t) = N0·e−0.0866 t

    Wieviel Prozent der vorhandenen Menge zerfallen pro Tag?

    q = 0,917 = 91,7%
    ⇒ die Abnahme beträgt 8,3%.

    q = e−0,0866 = 0,917

    Wann ist nur mehr 1% der ursprünglichen Menge vorhanden?

    0,01·N0 = N0·0,917 t

    t = ln(0,01) / ln(0,917) = 53,2
    ⇒ nach 53,2 Tagen

    0,01·N0 = N0·e-0,0866 t

    t = ln(0,01) / (−λ) = 53,2

Anmerkung: Aus der Gleichung N0/2 = N0·e−λ·τ erhält man die Beziehung

λ·τ = ln(2)

Lernziele:

Übungen