Vektoren

Einführung

Begriffe aus der Physik:

Ein Vektor ist eine gerichtete Größe (Kraft, Geschwindigkeit ... ). Er kann durch einen Pfeil dargestellt werden (Repräsentant des Vektors).
Die Länge des Pfeils bezeichnet man als Betrag des Vektors.
Alle gleichlangen, parallelen und gleichgerichteten Pfeile gehören zum selben Vektor.

Ein Skalar ist eine ungerichtete Größe (eine Zahl).

Man bezeichnet Vektoren üblicherweise mit Kleinbuchstaben, mit darübergestelltem Pfeil: oder fett: v.
(Ich werde Vektoren der Einfachheit halber im Folgenden meist fett schreiben.)

Der zu a entgegengesetzte Vektor −a heißt Gegenvektor von a.

Zwei Vektoren werden addiert, indem man ihre Repräsentanten "aneinanderhängt". Aus dem dargestellten Parallelogramm ergibt sich:

a + b = b + a

Die Summe aus einem Vektor und seinem Gegenvektor ist der Nullvektor.

Zwei Vektoren werden subtrahiert, indem man

• b auf a ergänzt ("b plus wieviel ist a?") oder
• −b zu a addiert.

Ein Vektor wird mit einem Skalar k multipliziert, indem man ihn um den Faktor k streckt bzw. staucht.
Der Vektor k·a ist parallel zu a und

• gleich orientiert, wenn k > 0
• entgegengesetzt orientiert, wenn k < 0

Zwei Vektoren sind genau dann parallel, wenn der eine das k-fache des anderen ist.

Einen Vektor der Form k·a + m·b bezeichnet man als Linearkombination der Vektoren a und b.

Koordinatendarstellung von Vektoren in der Ebene

Seien e_x, e_y zwei Einheitsvektoren (Vektoren mit der Länge 1) in Richtung der Koordinatenachsen. Dann kann man jeden Vektor der Ebene als Linearkombination von e_x und e_y darstellen.

Betrachten wir z.B. den Vektor vom Koordinatenursprung zum Punkt P(4/3) (den sogenannten Ortsvektor von P), so können wir schreiben:
OP = 4·e_x + 3·e_y
oder einfacher
OP =

Allgemein: a = a_x·e_x + a_y·e_y =

Sind Anfangs- und Endpunkt des Vektors bekannt, so gilt:
Vektor = Endpunkt - Anfangspunkt

Beispiel: A(2/1), B(3/6):
AB =

(Da alle Repräsentanten des Vektors dieselbe Koordinatendarstellung haben, kann man von den Koordinaten des Vektors sprechen.)

Soll ein Vektor von einem gegebenen Anfangspunkt aus aufgetragen werden, so gilt:
Anfangspunkt + Vektor = Endpunkt

Beispiel: Trage den Vektor a = vom Punkt C(−-2/3) aus auf!
, der Endpunkt hat daher die Koordinaten D(2/6).

Koordinatendarstellung von Vektoren im Raum

Im Raum gibt es 3 Koordinatenachsen. Wir können daher jeden Vektor als Linearkombination von 3 Einheitsvektoren e_x, e_y und e_z darstellen, z.B.:
4·e_x + 3·e_y − 2·e_z =

Anmerkung: Man kann Vektoren auch von Anfang an als geordnete Zahlenpaare bzw. Zahlentripel definieren. Diese Definition kann man auf geordnete n-Tupel erweitern; man erhält dann Vektoren im (nicht mehr anschaulich vorstellbaren) n-dimensionalen Raum.