Das Pascal'sche Dreieck

Dieses Zahlendreieck war schon im Mittelalter indischen, persischen und chinesischen Mathematikern bekannt. Mit seiner Hilfe kann man die Potenzen von Binomen berechnen. Seinen Namen hat es von Blaise Pascal (1623 - 1662), der es im Zusammenhang mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung untersuchte.

Bildungsvorschrift: Die erste und letzte Zahl jeder Reihe ist 1; die übrigen Zahlen erhält man, indem man jeweils die beiden darüberstehenden Zahlen addiert.

1
1       1
1       2       1
1       3       3       1
1       4       6       4       1
1       5     10     10       5       1
1       6     15     20     15       6       1
1       7     21     35     35     21       7       1
1       8     28     56     70     56     28       8       1
1       9     36     84   126   126     84     36       9       1
1     10     45   120   210   252   210   120     45     10       1
1     11     55   165   330   462   462   330   165     55     11       1
1     12     66   220   495   792   924   792   495   220     66     12       1

und so weiter...

Diese Zahlen treten, wie erwähnt, auf, wenn man die Potenzen eines Binoms berechnet - deshalb heißen sie Binomialkoeffizienten. Die k-te Zahl in der n-ten Reihe (wobei man bei 0 zu zählen anfangen muss) bezeichnet man mit (sprich: "n über k"). Andere Bezeichnungen sind binom(n, k) oder nCr ("n choose r").
Der Binomische Lehrsatz lautet:

Z.B.: (a + b)⁵ = a⁰b⁵ + 5a¹b⁴ + 10a²b³ + 10a³b² + 5a⁴b¹ + a⁵b⁰
(meist werden die Potenzen in umgekehrter Reihenfolge angeschrieben).

Sie begegnen uns aber auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Wenn ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt, so beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es bei n Versuchen k-mal eintritt,

Z.B. ist die Wahrscheinlichkeit, dass man bei 4-maligem Würfeln genau 2 Sechser wirft, 6·(¹/₆)²·(⁵/₆)² = 0,1157. Das ist die sogenannte Binomialverteilung.

Direkte Berechnung der Binomialkoeffienten

Wir schreiben die Potenz einmal ausführlich auf:

(a + b)⁵ = (a + b)·(a + b)·(a + b)·(a + b)·(a + b)

Bei der Multiplikation wird aus jeder Klammer entweder a oder b ausgewählt. a³b² entsteht zum Beispiel, wenn wir 3 a's und 2 b's wählen, etwa aabab. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür?

Wenn wir 5 verschiedene Elemente anordnen wollen, z.B. abcde, gibt es für den ersten Platz 5 Möglichkeiten, für den zweiten nur mehr 4, für den dritten 3, ... also insgesamt 5·4·3·2·1 = 120 Möglichkeiten. Diesen Wert bezeichnet man als 5! ("5 Fakultät").

Die 3 a's können aber auf 3! = 6 Arten umgeordnet werden, ohne dass eine neue Anordnung entsteht. Wir müssen also das Ergebnis 5! durch diesen Wert dividieren. Ebenso können die 2 b's auf 2! = 2 Arten vertauscht werden. Daher gibt es nur 5!/(3!·2!) = 10 verschiedene Anordnungen.

Beziehungen am Pascal'schen Dreieck

Am Pascal'schen Dreieck kann man eine Fülle von interessanten Beziehungen entdecken:

In den Schrägreihen stehen die sogenannten figurierten Zahlen:
in der ersten Reihe die natürlichen Zahlen (n),
in der zweiten die Dreieckszahlen (D(n) = 1 + 2 + ... + n),
in der dritten die Tetraederzahlen (T(n) = D(1) + D(2) + ... + D(n)) usw.

Addiert man die ersten Zahlen einer Schrägreihe, so erhält man die Zahl, die schräg unter dem letzten Summanden steht.

Die Summe der Zahlen in der n-ten Horizontalreihe beträgt 2ⁿ
(das kann man leicht beweisen, indem man in der binomischen Formel a = b = 1 setzt).
Wenn man die Zahlen abwechselnd addiert und subtrahiert, ist das Ergebnis 0 (außer in der nullten Reihe).
(Setze a = 1, b = −1)

Und wenn man die Zahlen in den "Diagonalen" addiert, erhält man die Fibonacci-Zahlen.