Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Kann man das Ergebnis eines Zufallsexperiments durch eine Zahl darstellen, so bezeichnet man diese Zahl als Zufallsvariable X. Eine diskrete Zufallsvariable kann nur bestimmte Werte x₁, x₂, ..., x_n annehmen.
Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ordnet jedem Wert x_i die Wahrscheinlichkeit zu, mit der dieser Wert angenommen wird.
Die Verteilungsfunktion gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der höchstens der Wert x_i angenommen wird (analog zur Summenhäufigkeit).

Erwartungswert E(X) bzw. μ (my), Varianz V(X) und Standardabweichung σ (sigma) werden analog zur Statistik definiert, wobei die relative Häufigkeit durch die Wahrscheinlichkeit ersetzt wird:

Beispiel:

Im vorigen Beispiel (Ziehen mit Zurücklegen; siehe auch Histogramm) sei X die Anzahl der gezogenen roten Kugeln.

xi	P(X = xi)	P(X ≤ xi)
0	8/27	8/27
1	12/27	20/27
2	6/27	26/27
3	1/27	1

Die Abbildungen zeigen das Histogramm und die Verteilungsfunktion.

Erwartungswert: μ = 0·⁸/₂₇ + 1·¹²/₂₇ + 2·⁶/₂₇ + 3·¹/₂₇ = 1

Varianz: V(X) = 0²·⁸/₂₇ + 1²·¹²/₂₇ + 2²·⁶/₂₇ + 3²·¹/₂₇ − 1² = ²/₃

Standardabweichung: σ = √(²/₃) = 0,82

Ebenso erhält man beim Ziehen ohne Zurücklegen:
μ = 1, V(X) = ¹/₂, σ = 0,71.

(Natürlich kann man Erwartungswert und Standardabweichung auch mit der Statistikfunktion des Taschenrechners ermitteln.)

Die Binomialverteilung

Eine wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Binomialverteilung. Sie tritt unter folgenden Bedingungen auf:

• Ein Experiment hat nur zwei mögliche Ausgänge A und A'. Dabei sei P(A) = p und P(A') = q = 1 − p.
• Es kann beliebig oft wiederholt werden.
• Die Wahrscheinlichkeit von A bzw. A' bleibt bei jeder Wiederholung gleich und ist unabhängig von den vorigen Ausgängen.

(Ein solches Experiment nennt man Bernoulli-Experiment.)

Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei n Wiederholungen k-mal das Ereignis A eintritt,

(n über k) ist der Binomialkoeffizient.

Für die Binomialverteilung gilt:

Beispiel:

Wir würfeln 12 mal mit einem sechsseitigenWürfel, X sei die Anzahl der geworfenen Sechser.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal / höchstens 2 mal / mindestens 2 mal eine Sechs zu werfen?

Die Parameter der Verteilung sind n = 12, p = ¹/₆, q = ⁵/₆.

• Genau 2 mal Sechs:
  Die Wahrscheinlichkeit für eine Folge wie SSNNNNNNNNNN (S: Sechs, N: nicht Sechs) beträgt .
  Es sind verschiedene Reihenfolgen möglich.
  Die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Sechser ist daher
  

  Analog berechnet man: P(X = 0) = 0,112, P(X = 1) = 0,269.

• Höchstens 2 mal Sechs:
  "höchstens 2 Sechser" bedeutet "0 Sechser" oder "1 Sechser" oder "2 Sechser".
  P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,677

• Mindestens 2 mal Sechs:
  "mindestens 2 Sechser" ist das Gegenereignis zu "0 oder 1 Sechser".
  P(X ≥ 2) = 1 − [P(X = 0) + P(X = 1)] = 0,619

Für Erwartungswert und Standardabweichung erhalten wir:
μ = 12·¹/₆ = 2, σ = √(12·¹/₆·⁵/₆) = 1,29

Die meisten Taschenrechner haben die Wahrscheinlichkeitsfunktion (binomPdf) und die Verteilungsfunktion (binomCdf) der Binomialverteilung einprogrammiert.

Die beiden Abbildungen zeigen die Binomialverteilung für p = ¹/₂ und n = 4 bzw. 16. Wie man sieht, nähert sich die Form bei wachsendem n immer mehr einer "Glockenkurve", der Normalverteilung (s. stetige Verteilungen).

Übungen

Weitere diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen