Umgekehrte Kurvendiskussion

Bei diesen Aufgaben soll die Gleichung einer Funktion gefunden werden, von der bestimmte Punkte bekannt sind.

Wir setzen die Funktion zuerst allgemein an, z.B.:

Polynomfunktion 3. Grades: f(x) = a·x³ + b·x² + c·x + d

Funktion 4. Grades, symmetrisch zur y-Achse: f(x) = a·x⁴ + b·x² + c
(wegen der Symmetrie können die ungeraden Potenzen weggelassen werden)

Davon bilden wir die 1. (und wenn nötig die 2.) Ableitung.

Nun müssen wir aus den gegebenen Informationen so viele Gleichungen bilden, wie wir Unbekannte haben.

• Der Graph geht durch den Punkt P(x₁/y₁): f(x₁) = y₁
  z.B.: P = (4/6) ⇒ f(4) = 6

• Der Graph hat bei x₁ die Steigung k: f'(x₁) = k
  z.B.: In P = (4/6) ist die Steigung 3 ⇒ f'(4) = 3
  andere Formulierungen: der Graph berührt die Gerade y = k·x + d, ist parallel zur Geraden y = k·x ...

• Der Graph hat bei x₁ einen Extrempunkt: f'(x₁) = 0
  z.B.: H = (1/3) ⇒ f'(1) = 0
  andere Formulierungen: der Graph berührt die x-Achse, die Tangente ist parallel zur x-Achse ...

• Der Graph hat bei x₁ einen Wendepunkt: f''(x₁) = 0
  z.B.: W = (4/6) ⇒ f''(4) = 0

Beispiel:

• Der Graph einer Polynomfunktion 3. Grades hat in P = (1/1) die Steigung 4 und in W = (2/3) einen Wendepunkt.

  Allgemeiner Ansatz:
  f(x) = a·x³ + b·x² + c·x + d
  f'(x) = 3a·x² + 2b·x + c
  f''(x) = 6a·x + 2b

  • Der Graph geht durch P = (1/1):
    f(1) = 1 ⇒ a·1³ + b·1² + c·1 + d = 1

  • Der Graph hat bei x = 1 die Steigung 4:
    f'(1) = 4 ⇒ 3a·1² + 2b·1 + c = 4

  • Der Graph geht durch W = (2/3):
    f(2) = 3 ⇒ a·2³ + b·2² + c·2 + d = 3

  • Bei x = 2 ist ein Wendepunkt:
    f''(2) = 0 ⇒ 6a·2 + 2b = 0

  Wir müssen also folgendes lineare Gleichungssystem lösen:

  a + b + c + d	= 1
  3·a + 2·b + c	= 4
  8·a + 4·b + 2c + d	= 3
  12·a + 2·b	= 0

  Wir erhalten a = 1, b = −6, c = 13, d = −7.
  Die Funktionsgleichung lautet daher:

  f(x) = x³ − 6·x² + 13·x − 7

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