Gleichungen mit einer Unbekannten

Einen Ausdruck der Form

T1(x) = T2(x)

nennt man Gleichung mit der Unbekannten x. T1 und T2 sind dabei beliebige Terme. (Die Unbekannte kann natürlich auch anders benannt werden!)
Je nachdem, welche Zahl man für x einsetzt, erhält man eine wahre oder eine falsche Aussage.

Grundmenge: alle Zahlen, die zum Einsetzen in die Gleichung vorgesehen sind
Definitionsmenge: alle Elemente der Grundmenge, die für die Unbekannte eingesetzt werden dürfen
Lösungsmenge: alle Elemente der Definitionsmenge, die die Gleichung in eine wahre Aussage überführen

Beispiele:

3 · x + 1 = 10 G = ℕ D = ℕ L = {3}
x2 = 4 G = ℕ D = ℕ L = {2}
x2 = 4 G = ℝ D = ℝ L = {−2, 2}
1/x = 1/5 G = ℝ D = ℝ \ {0} L = {5}

Gleichungen, die dieselbe Lösungsmenge haben, heißen äquivalent.

Äquivalenzumformungen

Die Lösungsmenge einer Gleichung bleibt gleich, wenn man auf beiden Seiten

Wir werden immer versuchen, eine Gleichung durch Äquivalenzumformungen auf die einfachste Form zu bringen.
Dabei können Sonderfälle auftreten, z.B.:

x = x
Diese Aussage ist für alle Zahlen wahr ⇒ L = D

x = x + 1
Diese Aussage ist für alle Zahlen falsch ⇒ L = { }

Genauere Erklärungen: mathe online, Gleichungen
http://www.mathe-online.at/mathint/gleich/i.html
Abschnitte "Gleichung" - "Äquivalenzumformungen"

Lineare Gleichungen

Eine Gleichung der Form

a · x + b = 0

mit a, b ∈ R, a ≠ 0
heißt lineare Gleichung (d.h., x kommt nur in der ersten Potenz vor).
Sie hat in ℝ genau eine Lösung: L = {−b/a}

Beispiel:
(Wenn nicht anders angegeben, ist die Grundmenge immer ℝ)

7 · x − 6

= 4 · x + 9 | − 4 · x

3 · x − 6

= 9 | + 6

3 · x

= 15 | :3

x

= 5  

L = {5}

Lernziele

Genauere Erklärungen: mathe online, Gleichungen
http://www.mathe-online.at/mathint/gleich/i.html
Abschnitte "Lineare Gleichungen", "Normalform der linearen Gleichung"

Übungen
Textbeispiele

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