bzw.       .

Das Minimum selbst, also die minimalen Stückkosten, bezeichnet man als langfristige Preisuntergrenze (LPU). Zu diesem Preis muss der Betrieb sein Produkt mindestens verkaufen, damit er kostendeckend produzieren kann.

Die kurzfristige Preisuntergrenze (KPU) ist das Minimum der variablen Stückkosten K_var(x)/x. Die Stelle, an der dieses Mimimum angenommen wird, heißt Betriebsminimum.

Beispiel: Ein Betrieb hat die Kostenfunktion

K(x) = 0,1·x² + 2·x + 40       (K_fix = 40, K_var(x) = 0,1·x² + 2·x; progressiver Kostenverlauf)

K'(x) = 0,2·x + 2

Aus der Gleichung können wir das Betriebsoptimum berechnen: x_opt = 20
Bei einer Produktion von 20 ME sind also die Stückkosten am niedrigsten, nämlich . Der Betrieb muss also sein Produkt um mindestens 6 GE/ME verkaufen.

Erlös und Gewinn bei vollständiger Konkurrenz

Wenn der Markt sehr groß ist, hat der einzelne Anbieter praktisch keinen Einfluss auf den Preis. (Ein einzelner Bauer hat keinen Einfluss auf den Milchpreis.) Wir können vereinfachend annehmen, dass er eine beliebige Menge zu einem konstanten Verkaufspreis absetzen kann.

p	Verkaufspreis in GE pro ME
E(x) = p·x	Erlösfunktion (Umsatz)
G(x) = E(x) − K(x)	Gewinnfunktion

(Auf den folgenden Bildern ist der Graph der Kostenfunktion rot, der Graph der Erlösfunktion blau dargestellt.)

Bei linearem Kostenverlauf schneiden einander die Graphen von Kosten- und Erlösfunktion in einem Punkt (vorausgesetzt, der Preis ist höher als die Grenzkosten). Dieser Schnittpunkt entspricht der Gewinnschwelle (Break-even-Point, BEP). Unterhalb davon macht der Betrieb Verlust, darüber Gewinn. Es ist daher am günstigsten, die Produktionskapazität voll auszunützen. Analoges gilt bei degressivem Kostenverlauf.

Bei progressivem oder gemischten Kostenverlauf haben die Graphen zwei Schnittpunkte, die Gewinngrenzen. Nur im Bereich dazwischen macht der Betrieb Gewinn, darüber oder darunter fährt er Verluste ein. Der Produzent wird versuchen, den maximalen Gewinn zu erzielen.

Die Gewinngrenzen erhält man aus der Gleichung

G(x) = 0       bzw.       E(x) = K(x),

die Stelle des Maximums der Gewinnfunktion (gewinnmaximierende Menge) aus

G'(x) = 0       bzw.       E'(x) = K'(x)

E'(x) = p, also ist der Gewinn maximal, wenn die Grenzkosten gleich dem Verkaufspreis sind (d.h., die Tangente an den Graphen von K(x) ist zum Graphen von E(x) parallel).

Beispiel: Angenommen, der Produzent aus dem vorigen Beispiel kann seinen Artikel um 6 GE verkaufen. Dann lautet die Gewinnfunktion: G(x) = 6·x − (0,1·x2 + 2·x + 40) = −0,1·x2 + 4·x − 40 Die Gleichung E(x) = K(x) (bzw. G(x) = 0) hat nur eine Lösung bei x = 20, also beim Betriebsoptimum. Bei dieser Produktionsmenge macht der Betrieb gerade keinen Verlust, es handelt sich um einen sogenannten Grenzbetrieb. Wie man aus der Zeichnung sieht, kann man das Betriebsoptimum graphisch ermitteln, indem man vom Koordinatenursprung eine Tangente an den Graphen von K(x) legt.

Wenn der Verkaufspreis 7 GE beträgt, lautet die Gewinnfunktion: G(x) = 7·x − (0,1·x2 + 2·x + 40) = −0,1·x2 + 5·x − 40 Die Gleichung E(x) = K(x) (bzw. G(x) = 0) hat die Lösungen x1 = 10, x2 = 40. Das sind die Gewinngrenzen. Die Lösung der Gleichung E'(x) = K'(x) (bzw. G'(x) = 0) ist x = 25. Der Betrieb erzielt also den maximalen Gewinn bei einer Produktion von 25 ME, und zwar beträgt der Gewinn G(25) = 22,5 GE.

Angebot und Nachfrage

Wie kommt der Marktpreis eigentlich zustande? Wir haben gesehen, dass der Produzent den maximalen Gewinn erzielt, wenn die Grenzkosten gleich dem Preis sind. Er wird also um so mehr produzieren, je höher der Preis ist, zu dem er das Produkt verkaufen kann. Die Menge, die er zu einem bestimmten Preis p anbietet, bezeichnen wir als Angebotsfunktion x_a(p). Die Marktangebotsfunktion setzt sich aus den Angebotsfunktionen aller einzelnen Anbieter zusammen. Sie ist monoton wachsend (je höher der Preis, desto mehr wird angeboten).

Aus Gründen der Einheitlichkeit nimmt man die Menge x als unabhängige Variable. Man rechnet daher mit der inversen Angebotsfunktion (Preisfunktion des Angebots) p_a(x). Das ist der Preis, zu dem eine bestimmte Menge x angeboten wird.

Ebenso erhält man aus den Nachfragefunktionen der einzelnen Konsumentinnen die Marktnachfragefunktion x_n(p). Sie ist normalerweise monoton fallend (je höher der Preis, umso weniger wird verkauft). Auch hier rechnet man mit der inversen Nachfragefunktion (Preisfunktion der Nachfrage) p_n(x). Das ist der Preis, zu dem eine bestimmte Menge x abgesetzt werden kann.

Das Marktgleichgewicht stellt sich ein, wenn Angebots- und Nachfragepreis gleich hoch sind.

Beispiel: Angebotsfunktion: pa(x) = 0,2·x + 2 Nachfragefunktion: pn(x) = −0,1·x + 14 Der Schnittpunkt der beiden Graphen entspricht dem Marktgleichgewicht: x = 40, pa(40) = pn(40) = 10 Der Gleichgewichtspreis beträgt also 10 GE; zu diesem Preis werden 40 ME verkauft.

Bei der Preisfunktion der Nachfrage gibt es zwei wichtige Werte:
der Höchstpreis p_n(0) gibt an, ab welchem Preis nichts mehr verkauft wird;
die Sättigungsmenge ist die Menge, die höchstens abgesetzt werden kann; man erhält sie aus der Gleichung p_n(x) = 0.

Im Beispiel ist der Höchstpreis 14 GE, die Sättigungsmenge beträgt 140 ME.

Erlös und Gewinn bei Monopolbetrieb

Ein Monopolanbieter kann für sein Produkt jeden Preis verlangen, den er will. Allerdings muss er berücksichtigen, dass bei höheren Preisen die Nachfrage abnimmt. Er sollte daher die Preisfunkton der Nachfrage (die wir ab jetzt einfach als Preisfunktion p(x) bezeichnen) kennen.

p(x)	Preisfunktion der Nachfrage
E(x) = p(x)·x	Erlösfunktion (Umsatz)
G(x) = E(x) − K(x)	Gewinnfunktion

Die Gewinngrenzen und den maximalen Gewinn berechnet man so wie vorhin. Den Punkt C(x*/p(x*)) der Preisfunktion, bei dem der maximale Gewinn erzielt wird, bezeichnet man als Cournot'schen Punkt.

Beispiel:
Ein Monopolbetrieb hat die Kostenfunktion K(x) = 0,1·x² + 2·x + 40.
Die Preisfunktion ist gegeben durch p(x) = −0,1·x + 14.
Daraus erhalten wir die Gewinnfunktion:

G(x) = (−0,1·x + 14)x − (0,1·x² + 2·x + 40) = −0,2·x² + 12·x − 40

Die Gewinngrenzen sind die Lösungen der Gleichung E(x) = K(x) (bzw. G(x) = 0): x₁ = 3,5, x₂ = 56,5.

Die Gleichung E'(x) = K'(x) (bzw. G'(x) = 0) hat die Lösung x = 30. Die Firma erzielt also den maximalen Gewinn bei einem Absatz von 30 ME; sie kann einen Preis von p(30) = 11 GE verlangen und macht dabei G(30) = 140 GE Gewinn.

Wir sehen also, dass ein Monopolanbieter einen höheren Preis verlangen wird und dass das Angebot niedriger sein wird als auf einem freien Markt.

Übungen