Übungen: Vektorrechnung im Raum

Anmerkung: Der Einfachheit halber habe ich alle Vektoren als Zeilenvektoren geschrieben.
Einige Beispiele zu dem Thema gibt es auch unter "Übungen: Vektorrechnung".

  1. Ermittle die gegenseitige Lage der Geraden g und h und berechne, wenn möglich, den Schnittpunkt und Schnittwinkel.

    1. g: X = (2/4/5) + s·(3/1/2), h: X = (6/10/12) + t·(-2/4/3)
    2. g: X = (3/-2/0) + s·(2/1/-1), h: X = (9/1/-3) + t·(4/2/-2)
    3. g: X = (-2/1/4) + s·(-4/-2/3), h: X = (6/5/-2) + t·(-2/3/2)
    4. g[A(3/5/7), B(8/5/2)], h[C(1/-1/4), D(3/2/1)]
    5. g[A(6/1/9), B(8/0/4)], h[C(3/2/7), D(5/1/2)]
    6. g[A(-4/-7/3), B(-2/-5/4)], h[C(0/0/8), D(4/-2/4)]

  2. Berechne den Schnittpunkt und Schnittwinkel der Gerade g mit der Ebene ε.

    1. g: X = (3/7/-7) + t·(-2/-3/6), ε: 2x - 3y + z = 0
    2. g: X = (8/-1/-4) + t·(0/2/-3), ε: 5x + 3y - 11z = 3
    3. g[A(6/5/-4), B(0/2/5)], ε: 2x + y = 12
    4. g: X = (1/1/-5) + t·(-1/1/3), ε[A(4/4/3), B(-3/5/7), C(6/2/1)]

  3. Ermittle eine Gleichung der Schnittgeraden der Ebenen ε1 und ε2. Welchen Winkel schließen die Ebenen miteinander ein?

    1. ε1: 3x - y - 2z = 8, ε2: 2x + 4y - z = 10
    2. ε1: 5x + 3z = 1, ε2: x - 2y + 4z = 7
    3. ε1: 2x + y + z = 2, ε2[A(0/1/1), B(2/4/1), C(-2/3/-1)]
    4. ε1: X = s·(2/2/1) + t·(7/4/3), ε2: X = u·(2/2/1) + v·(-4/3/-2)

  4. Ermittle die Gleichung der Ebene durch den Punkt P, die auf die Gerade g normal steht, den Schnittpunkt dieser Ebene mit g und den Abstand des Punktes P von der Geraden g.

    1. P(4/5/10), g: X = (1/1/-2) + t·(4/0/-1)
    2. P(1/3/7), g: X = (-1/9/-1) + t·(3/-2/2)
    3. P(2/5/3), g: X = (8/0/-4)) + t·(2/2/5)
    4. P(-1/2/-3), g[(A(-2/0/7), B(0/4/5)]

  5. Ermittle die Gleichung der Geraden durch den Punkt P, die auf die Ebene ε normal steht, den Schnittpunkt dieser Geraden mit ε und den Abstand des Punktes P von der Ebene.

    1. P(9/5/2), ε: 4x + 3y = 1
    2. P(4/7/1), ε: 2x + y - 2z = 4
    3. P(0/4/3), ε[A(0/0/5), B(1/-1/0), C(3/1/2)]
    4. P(7/2/1), ε: X = (-1/0/0) + u·(2/2/1) + v·(1/3/-1)

  6. Eine dreiseitige Pyramide hat die Spitze S(0/0/9). Die Grundfläche liegt in der Ebene ε: 3x + 2y + 9z = 9. Die Trägergeraden der Seitenkanten haben die Gleichungen
    e: X = (0/0/9) + t·(1/0/-3)
    f: X = (0/0/9) + u·(-1/1,5/-4)
    g: X = (0/0/9) + v·(1/3/7).

    1. Ermittle die Koordinaten der Eckpunkte A, B und C.
    2. Berechne das Volumen und die Oberfläche der Pyramide.

  7. Eine gerade quadratische Pyramide hat die Grundfläche ABCD[A(0/0/3), B(4/4/5), C, D(4/-2/-1)]. Die Spitze S liegt in der Ebene ε: z = 8.

    1. Ermittle die Koordinaten von C und S und zeige, dass ABCD ein Quadrat ist.
    2. Berechne den Winkel zwischen zwei beliebigen benachbarten Seitenkanten.
    3. Berechne das Volumen und die Oberfläche der Pyramide.

  8. Ein gerades dreiseitiges Prisma hat die Grundfläche ABC [A(0/0/0), B(12/8/24), C(-18/9/6)] und die Höhe h = 7.

    1. Zeige, dass ABC ein rechtwinkeliges Dreieck ist!
    2. Berechne die Koordinaten der Eckpunkte der Deckfläche DEF (zD > 0).
    3. Berechne Volumen und Oberfläche des Prismas.

  9. S(-2/-5/7) ist die Spitze einer geraden quadratischen Pyramide. Die Grundfläche liegt in der Ebene ε: 2x + 2y - z = 6, der Eckpunkt A liegt auf der x-Achse.

    1. Ermittle die Koordinaten des Mittelpunkts der Grundfläche und der Eckpunkte.
    2. Welchen Winkel schließt die Grundfläche mit einer beliebigen Seitenfläche ein?
    3. Berechne Volumen und Oberfläche der Pyramide.

  10. Das Dreieck ABC [A(3/7/0), B(4/0/0), C(0/y/z>0)] ist die Grundfläche eines geraden Prismas mit der Höhe h = √3.

    1. Bestimme die Koordinaten von C so, dass ABC ein gleichseitiges Dreieck ist.
    2. Ermittle die Koordinaten der übrigen Eckpunkte (2 Lösungen).
    3. Berechne Volumen und Oberfläche des Prismas.

Ergebnisse

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