Integralrechnung

Stammfunktionen (unbestimmtes Integral)

Definition: Eine Funktion F(x) heißt Stammfunktion von f(x), wenn F'(x) = f(x).

Beispiel:

Wenn von der Funktion sonst nichts bekannt ist, müssen wir also immer die Integrationskonstante C dazuschreiben.

Die Stammfunktion bezeichnet man auch als unbestimmtes Integral:

F(x) = ∫f(x)·dx

("Integral von f(x) mal dx"; zur Erklärung dieser Schreibweise siehe bestimmtes Integral.)

aus der Tabelle zur Ableitung erhalten wir also leicht die Tabelle der Stammfunktionen:

Stammfunktionen der wichtigsten Funktionen:

f(x) = k

F(x) = k·x + C

f(x) = xn
(n ≠ −1)

F(x) = x^(n+1)/(n+1) + C

f(x) = 1/x

F(x) = ln |x| + C

f(x) = ex

F(x) = ex + C

f(x) = sin(x)

F(x) = −cos(x) + C

f(x) = cos(x)

F(x) = sin(x) + C

 :

Integrationsregeln:

∫k·f(x)·dx = k·∫f(x)·dx

∫(f(x) ± g(x))·dx = ∫f(x)·dx ± ∫g(x)·dx

Beispiel:

Anwendung: Geschwindigkeit und Beschleunigung

Wie wir wissen, erhält man die Geschwindigkeit als Ableitung der Wegfunktion und die Beschleunigung als Ableitung der Geschwindigkeitsfunktion. Umgekehrt bedeutet das: die Stammfunktion der Geschwindigkeit ergibt den Weg, die Stammfunktion der Beschleunigung die Geschwindigkeit.

Weg: s(t) = ∫v(t)·dt
Geschwindigkeit: v(t) = ∫a(t)·dt

Beispiel:

Graphen der Weg- und Geschwindigkeitsfunktion:

Graph der Funktion h(t) = -5t^2 + 25t + 30 Graph der Funktion v(t) = -10t + 25

Anmerkung:
Die Kugel legt zum Beispiel in den ersten beiden Sekunden 30 m zurück. Andrerseits beträgt die Fläche unter dem Graphen der Geschwindigkeitsfunktion im Intervall [0; 2] (schraffiert) (25 + 5)·2/2 = 30 Flächeneinheiten. Das gilt auch für jeden anderen Zeitpunkt, wenn man Flächenstücke unter der t-Achse negativ rechnet.
Diesen Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Fläche werden wir im nächsten Abschnitt näher betrachten.

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