Zins-, Zinseszins- und Rentenrechnung

Wenn ein Kapital für einen gewissen Zeitraum ausgeliehen wird, muss man dafür Zinsen zahlen. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Zinsen zu berechnen:

Bezeichnungen:

K0: Barwert (Anfangskapital)
Kn: Endwert (Kapital nach n Jahren)
i: Zinssatz (interest rate)
d: Diskontsatz (discount rate)
n: Laufzeit

Wir geben Zinssatz und Diskontsatz in Prozent oder als Dezimalzahl an, z.B. i = 5% = 0,05.

 

Einfache Verzinsung

dekursiv:

Ein Kapital K0 wird n Jahre zum Jahreszinssatz i angelegt. Die Zinsen betragen K0·n·i, das Endkapital ist daher

Kn = K0·(1 + n·i)

Wir erhalten also eine lineare Funktion der Zeit.

Die einfache Verzinsung wird nur für Zeiträume unter 1 Jahr angewendet.

Beispiele:

antizipativ:

Diese Art der Verzinsung wird vor allem bei der Wechseldiskontierung angewendet. Mit einem Wechsel verpflichtet man sich, zu einem späteren Zeitpunkt einen bestimmten Betrag Kn zu zahlen. Wenn der Empfänger des Wechsels ihn schon früher einlösen will, erhält er von der Bank den um die Diskontzinsen verminderten Betrag. Die Zinsen betragen Kn·n·d, der Auszahlungbetrag K0 ist daher

K0 = Kn·(1 - n·d)

Auch die lineare antizipative Verzinsung wird nur für Zeiträume unter 1 Jahr angewendet. Sie hat heute keine große praktische Bedeutung mehr.

Beispiele:

Wie wir am letzten Beispiel sehen, sind ein bestimmter Zinssatz und ein nominell gleich hoher Diskontsatz nicht äquivalent.

 

Zinseszinsen

Die angelaufenen Zinsen werden am Ende jeder Zinsperiode dem Kapital hinzugefügt. (Wir betrachten hier nur dekursive Verzinsung.) Das Kapital wächst also pro Jahr umd den Aufzinsungsfaktor q = 1 + i, und der Endwert beträgt

Kn = K0·qn, wobei q = 1 + i

Das Endkapital hängt also exponentiell von der Zeit ab.

Beispiele:

Das Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik

Zahlungen dürfen nur dann verglichen / addiert / subtrahiert werden, wenn sie zuvor auf denselben Stichtag auf- oder abgezinst wurden!

Beispiel:

Unterjährige Verzinsung

Oft werden die Zinsen mehrmals pro Jahr dem Kapital zugeschlagen (halbjährlich, vierteljährlich oder monatlich). Für die Berechnung des unterjährigen Zinssatzes im (m ist die Anzahl der Zinsperioden pro Jahr) gibt es zwei Möglichkeiten:

Man kommt also nur zu widerspruchsfreien Ergebnissen, wenn man den konformen unterjährigen Zinssatz verwendet!

Exkurs: Stetige Verzinsung

Wenn man (bei gleichbleibendem nominellen Zinssatz) die Anzahl der Zinsperioden vergrößert, wird das Endkapital immer größer. Es gibt aber eine obere Grenze.

Setzen wir der Einfachheit halber K0 = 1, i = 100 %:

m K1
1 1 + 1 = 2
2 (1 + ½)2 = 2,25
4 (1 + ¼)4 = 2,441
12 (1 + 1/12)12 = 2,613
100 (1 + 1/100)100 = 2,705
1000 (1 + 1/1000)1000 = 2,717

Der Grenzwert dieser Folge für m → ∞ ist die Euler'sche Zahl e = 2,71828...

Allgemein gilt:

Endwert eines Kapitals bei stetiger Verzinsung zum nominellen Zinssatz i:

Kn = K0·ei·n

Die stetige Verzinsung eines Kapitals ist in der Praxis nicht durchführbar; sie stellt aber ein gutes Modell für natürliche Vorgänge (Wachstumsvorgänge, radioaktiver Zerfall u.a.) dar.

Übungen zum Äquivalenzprinzip

 

Rentenrechnung

Eine Reihe von gleichhohen Zahlungen (Raten) in regelmäßigen Zeitabständen bezeichnet man als Rente.

Bezeichnungen:
R: Rate
E: Endwert (Wert am Ende des Rentenzeitraums)
B: Barwert (Wert am Beginn des Rentenzeitraums)

Rentenperiode: Zeitraum zwischen zwei Raten
Nachschüssige Rente: Zahlungen am Ende jeder Rentenperiode
Vorschüssige Rente: Zahlungen am Beginn jeder Rentenperiode

Wir nehmen zunächst an, dass Rentenperiode und Zinsperiode übereinstimmen, und bestimmen den Endwert einer n-maligen, nachschüssigen Rente. (Die Rentenperiode sei ein Jahr.)

Zeitstrahl

Wir zinsen alle Raten, beginnend mit der letzten, auf den Tag der letzten Zahlung auf:

En = R + R·q + R·q2 + ... + R·qn−1 = R·(1 + q + q2 + ... + qn−1)
E_n = R*(q^n - 1)/(q - 1)

Beweis:

Der Ausdruck in der Klammer ist eine geometrische Reihe. Wir bezeichnen die Summe mit sn:

  sn = 1 + q + q2 + ... + qn−1
Beide Seiten mit q multiplizieren: q·sn = q + q2 + ... + qn-1 + qn
Obere Gleichung von unterer abziehen: sn·(q − 1) = qn − 1
sn = (qn − 1)/(q − 1)

Um den Endwert einer vorschüssigen Rente zu erhalten, muss man diesen Betrag noch durch ein Jahr aufzinsen, weil das Ende des Rentenzeitraums ein Jahr nach der letzten Zahlung liegt.

Den Barwert erhält man, indem man den Endwert durch n Jahre abzinst. Daher ergeben sich folgende Formeln:

 

nachschüssig

vorschüssig

Endwert:

E_n = R*(q^n - 1)/(q - 1)

E_v = R*q*(q^n - 1)/(q - 1)

Barwert:

B_n = E_n/q^n = R*(1 - q^-n)/(q - 1)

B_v = E_v/q^n = R*q*(1 - q^-n)/(q - 1)

Wenn Rentenperiode und Zinsperiode nicht gleich lang sind, muss man mit dem äquivalenten Zinssatz rechnen, z.B.:
monatliche Zahlungen, Jahreszinssatz i = 5 %: q = 12√1,05 = 1,0041
zweijährige Zahlungen, Jahreszinssatz i = 5 %: q = 1,052 = 1,1025

Beispiele:

Viele Taschenrechner besitzen ein Programm zur Rentenrechnung (TVM-Solver). Aber Vorsicht: Diese Programme rechnen oft, wie in den USA üblich, bei unterjähriger Verzinsung mit dem relativen Zinssatz!

Übungen zur Rentenrechnung

Lernziele